【導讀】本文詳解控制理論。通常我們在講解控制理論時(shí)，都只通過(guò)框圖，而不參考實(shí)際的電路。在數學(xué)和電路仿真工具的幫助下，我們將一步步說(shuō)明電子控制理論與現代電路設計息息相關(guān)。
簡(jiǎn)介
大學(xué)教授的許多科目都會(huì )令學(xué)生發(fā)問(wèn)："學(xué)習這門(mén)課程能讓我找到一份工作嗎？"控制理論可能就是這樣一門(mén)課程，這些多達數頁(yè)的數學(xué)和框圖不會(huì )在實(shí)際電路中被直接使用。但是，控制系統教授工程師如何設計自動(dòng)系統、系統距離實(shí)現穩定操作還有多大距離，以及如何從給定系統獲得最佳響應。因為不管課程是關(guān)于機械、電氣、土木、航空，或者是通信工程，如果系統不穩定，一切都沒(méi)有用。
對于設計工程師來(lái)說(shuō)，控制理論就是生命本身。
現在有許多關(guān)于控制理論的優(yōu)秀文章，但是其中很多都是借助框圖，以最概括化的方法來(lái)進(jìn)行介紹。本文主要面向電子工程師，從電路分析和仿真的角度介紹電子控制系統；介紹了常見(jiàn)的二階系統背后的理論，而且是利用有效的電路示例來(lái)加以說(shuō)明；旨在揭露二階系統的基礎原理，并向嘗試了解電子控制理論的人員說(shuō)明，該理論與模擬電路設計之間存在關(guān)聯(lián)。
二階系統
圖1所示為最基礎的二階網(wǎng)絡(luò )。
圖1.由一個(gè)電阻、一個(gè)電感和一個(gè)電容構成的二階網(wǎng)絡(luò )。
其傳遞函數為：
方程1右側的分母被稱(chēng)為 特征多項式 ，如果我們令特征多項式為0，我們會(huì )得出 特性方程。當轉換函數的分母等于0時(shí)，得到系統的極點(diǎn) 通過(guò)求解特性方程的根（讓特性方程等于0的s的值），我們可以找到系統的極點(diǎn)，從而獲取與系統運行狀況相關(guān)的許多信息。
二階系統傳遞函數的一般形式為：
其中ζ表示阻尼系數，ωn表示電路的固有振蕩頻率（或無(wú)阻尼頻率），單位為弧度/秒。
所以，二階系統的一般特性方程為：
比較方程3和方程1，我們可以看出，圖1中的電路的固有頻率為：
我們也可以看出，電路中的電阻會(huì )影響網(wǎng)絡(luò )的阻尼系數：
所以
所以
可以直觀(guān)看出，如果電路中沒(méi)有電阻，網(wǎng)絡(luò )不會(huì )出現耗損（無(wú)阻尼），如果模擬這種電路，則電路會(huì )永久振蕩。隨著(zhù)電阻增加，振蕩會(huì )更快衰減。
圖2顯示一個(gè)RLC電路，其中階躍輸入為1 V，L = 1 µH，C = 1 µF，電阻分別為0 Ω、100 mΩ和500 mΩ。電路按照預期的159 kHz頻率振蕩。電阻增加對衰減的影響一目了然。
圖2.電阻對網(wǎng)絡(luò )振蕩的衰減影響。
我們可以通過(guò)將拉普拉斯域轉換為時(shí)域，以數學(xué)方式展示圖2所示的模擬結果。拉普拉斯域中的單位階躍輸入寫(xiě)為：
所以當我們使用單位階躍輸入仿真二階系統時(shí)，結果會(huì )變成：
如果使用部份分式分解法，方程9可以寫(xiě)為：
方程10是表示在拉普拉斯域中的。
在時(shí)域中，這會(huì )轉換為：
其中
采用逆拉普拉斯變換的公式11的數學(xué)推導如 附錄A所示。
通過(guò)公式11，我們可以看出圖1的電路如何響應階躍輸入。我們可以看到，波形具有與正弦曲線(xiàn)類(lèi)似的特性，其幅度則由e–ζωnt項調制，根據阻尼系數是正數或復數出現指數式衰減或增加。近似來(lái)看，響應由正弦部分和余弦部分組成，但是，阻尼系統較低時(shí)，正弦部分非常小。
此外，盡管電路的固有頻率為ωn，但電路不會(huì )按照此頻率振蕩，而是按照更低一些的頻率ωdn決定。
要找出轉換函數的極點(diǎn)，則需要確定轉換函數何時(shí)等于0，也就是說(shuō)：
s的值可以使用二次方程求解：
其中
要得出系統極點(diǎn)，需要：
如果阻尼系數小于1，會(huì )得出負的平方根，所以最好將方程15寫(xiě)作：
我們之前說(shuō)過(guò) ωd = ωn√(1 – ζ2)，所以方程16可以改寫(xiě)為：
這里我們可以看出，系統的極點(diǎn)包含實(shí)數部分(–ζωn) 和虛數部分 (±jωd)。
方程17可以求解得出特性方程的根（系統的極點(diǎn)）。我們如何將這些極點(diǎn)與系統的穩定性聯(lián)系起來(lái)？現在我們需要把拉普拉斯域的極點(diǎn)和時(shí)域的穩定性聯(lián)系起來(lái)。
通過(guò)方程11和方程17，我們可以得出以下觀(guān)察結果。
無(wú)阻尼固有頻率ωn決定了：
拉普拉斯域（方程17）中的極點(diǎn) (–ζωn)的虛數部分。
振蕩的實(shí)際頻率
由此，可以合理假設極點(diǎn)的虛數部分確定了系統振蕩的實(shí)際頻率。
這兩個(gè)假設可以用s平面圖表示，我將在下一節詳細介紹。
穩定的系統
控制理論認為，如果極點(diǎn)位于s平面的左半部分，則系統是穩定的。圖3所示為一個(gè)s平面示例，其中實(shí)數部分在x軸上繪制，虛數部分在y軸上繪制。
圖3.s平面：顯示穩定的左半部分和不穩定的右半部分。
從方程17可以看出，如果阻尼系數為正（方程17的實(shí)數部分為負），則極點(diǎn)位于左半部分。隨著(zhù)阻尼系數增加，方程17的極點(diǎn)進(jìn)一步向左移動(dòng)（在左側平面內，越來(lái)越靠近左側)。
如果方程17在拉普拉斯域中，如何在時(shí)域中轉換？
為了方便起見(jiàn)，我們再次使用方程11：
正阻尼系數ζ會(huì )引發(fā)指數式的衰減幅度響應（由e–ζωnt項表示），阻尼越大，衰減越快。隨著(zhù)阻尼系數增加，極點(diǎn)進(jìn)一步向左移動(dòng)（在拉普拉斯域內），這進(jìn)一步增大了時(shí)域內的指數式衰減。從圖2中可以看出這一點(diǎn)，圖2使用100 mΩ和500 mΩ線(xiàn)路來(lái)表述電阻對阻尼的影響。在此區域中，500 mΩ線(xiàn)路的阻尼系數最大，所以它的指數式衰減最明顯。0 Ω時(shí)，阻尼系數為0，此時(shí)極點(diǎn)完全位于y軸上，電路無(wú)限振蕩，如圖2中的綠色線(xiàn)路所示。
值得注意的是，即使系統是穩定的，這并不表示一定沒(méi)有振蕩。電路可能會(huì )在左半平面的極點(diǎn)處振蕩，但是這些振蕩的振幅會(huì )隨著(zhù)時(shí)間而衰減，如圖2所示。
這對圖1中的電路意味著(zhù)什么?
我們知道圖1中的阻尼是通過(guò)下方的方程得出：
它的固有頻率則是：
所以，在L = 1 µH，C = 1 µF時(shí)，固有頻率為1 Mrads–1 (= 159.1 Hz)，R = 500 mΩ時(shí)的阻尼系數為0.25。
所以，阻尼振蕩頻率ωd由以下方程計算得出：
所以，阻尼振蕩頻率為968 krads–1，即154 kHz。這可以通過(guò)查看圖4中紅色波形的頻率來(lái)說(shuō)明。
圖4.阻尼對RLC電路振幅和頻率的影響。
正弦波的振幅按e–ζωnt衰減。阻尼系數為0.25，固有頻率ωn為1 Mrads–1，阻尼固有頻率為968246 rads–1，那么方程11變成：
使用這個(gè)公式，計算得出VOUT在3.26 μs時(shí)為1.44 V，在9.75 μs時(shí)為1.09 V，與圖4中顯示的讀數完全一致。
圖4清楚顯示了增加阻尼系數會(huì )產(chǎn)生的影響，即振幅和阻尼固有頻率都減小。
如果我們繼續增大阻尼系數，會(huì )出現什么結果？
我們知道阻尼固有頻率是通過(guò)以下方程計算得出：
當阻尼系數增大到一時(shí)，阻尼固有頻率減小到零。這就是所謂的臨界阻尼點(diǎn)，此時(shí)電路中的所有振蕩終止。這一點(diǎn)可參見(jiàn)方程11。自阻尼固有頻率ωd減小到0，正弦項等于0，余弦項目等于一，表達式簡(jiǎn)化為一階系統，與通過(guò)電阻充電的電容完全一樣。
這一點(diǎn)可以參見(jiàn)圖4中的臨界阻尼線(xiàn)路。
不穩定系統
由于所有電路都具有電阻，所以許多電子控制電路的極點(diǎn)都位于左半平面，且系統本身保持穩定。但是，由方程11可以看出，負阻尼系數會(huì )導致振幅響應呈指數增長(cháng)，所以極點(diǎn)位于右半平面會(huì )導致系統不穩定。在電路模擬中，通過(guò)插入負電阻，可以很容易看出右半平面的影響。圖5顯示RLC電路，其電阻為負。
圖5.電阻為負的RLC電路。
該電路的阻尼系數為-0.1。圖6顯示了它對階躍輸入的響應。
圖6.阻尼為負的二階系統的階躍響應。
阻尼固有頻率仍然由以下方程表示：
阻尼系數為-0.1時(shí)，振蕩的實(shí)際頻率為994987 rads–1 (158.3 kHz)。
同樣，從方程11可以看出電路響應由以下公式表示：
在輸出增大時(shí)，我們可以得出振幅響應：VOUT在41.05 μs時(shí)，計算得出的值為61.62 V，在47.36 μs時(shí)，為114.99 V，與圖6中所示的讀數完全一致。
主導極點(diǎn)
有時(shí)一個(gè)系統由許多極點(diǎn)組成，使分析變得復雜。但是，如果極點(diǎn)之間相隔的距離足夠大，那么一個(gè)極點(diǎn)產(chǎn)生的影響會(huì )占主導，因此可以忽略非主導極點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化系統。
圖7的上半部分顯示了兩個(gè)RLC電路，每個(gè)都使用完全相同的L和C元件；只是電阻發(fā)生了變化。電阻較低的電路的極點(diǎn)更靠近s平面的虛數軸。
圖7.主導極點(diǎn)的位置對串聯(lián)和并聯(lián)電路的影響。
圖7的下半部分顯示了這兩個(gè)電路的串聯(lián)。我們使用行為電壓源B1來(lái)復制V(OUT3)，以免它被R4、L4和C4加載，以便我們查看V(OUT3) × V(OUT4)的真實(shí)響應。
圖8.當兩個(gè)波形相加或相乘時(shí)，主導極點(diǎn)對系統響應的影響。
我們可以參考圖8查看它們的響應。不出所料，電阻最大的電路具有最大的阻尼系數，因此其振蕩衰減也最快，如圖V(OUT2)所示。但是，我們注意到，當兩個(gè)輸出要么相加（使電路并聯(lián)），要么相乘（使電路串聯(lián)）時(shí)，V(OUT1)在響應中占主導。因此，要簡(jiǎn)化復雜的系統，方法之一是重點(diǎn)關(guān)注極點(diǎn)更靠近jω軸的電路，該電路會(huì )主導整個(gè)系統的響應。
在左右半面均有極點(diǎn)分布的系統
我們已經(jīng)考慮過(guò)極點(diǎn)位于左半平面或右半平面的系統。如果系統在左右半面均有極點(diǎn)分布，會(huì )怎么樣？哪一種在穩定性方面更勝一籌？為什么？
我們再次參考方程11，可以看出指數是決定系統是否穩定的決定因素。我們可以忽略方程11的正弦部分，只看指數，以了解如果我們將左半面的極點(diǎn)和右半面的極點(diǎn)結合，會(huì )發(fā)生什么。圖9通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單電路來(lái)進(jìn)行演示。
圖9.極點(diǎn)分別位于左半面和右半面的電路。
很顯然，頂部的RC電路的極點(diǎn)位于左半面，因為它的電阻為正。底部電路的極點(diǎn)則位于右半面。得出此結論的數學(xué)推導如 附錄B所示。
圖9中，電路的響應如圖10所示。
圖10.對具有正負電阻的RC電路的階躍輸入的響應。
頂部波形在大約5毫秒后穩定在零梯度，這符合大眾接受的規則，即RC電路將穩定在大約5個(gè)時(shí)間常數。相反，V(OUT2)的梯度不斷增加?，F在可以明顯看出，如果將極點(diǎn)位于左半面的電路和極點(diǎn)位于右半面的電路串聯(lián)，那么整個(gè)電路會(huì )不穩定，這是因為在左半面電路穩定很長(cháng)時(shí)間后，右半面電路的響應會(huì )繼續呈指數上升。因此，為了讓電路穩定，所有極點(diǎn)都必須位于左半面。
結論
本文將電子控制理論中使用的理論模型與電子工程師所處的現實(shí)聯(lián)系起來(lái)。受系統中的電阻（或阻尼）影響，只有當所有極點(diǎn)都位于左半面時(shí)，控制系統才會(huì )保持穩定。對于極點(diǎn)位于右半面的系統，通過(guò)測量其輸出響應，結果證實(shí)存在問(wèn)題，因為這需要構建負電阻模型。幸好，計算機模擬幫我們解決了這個(gè)問(wèn)題，讓我們能夠通過(guò)簡(jiǎn)單變更電阻的極性來(lái)展示穩定和不穩定的電路。
同樣，拉普拉斯變換也很少在課堂之外出現，但在驗證二階電子系統如何工作時(shí)，它們的作用可謂是無(wú)價(jià)的。
附錄A
顯示
單位階躍輸入的拉普拉斯變換為
二階低通濾波器的通用轉換函數為
所以，由單位階躍模擬的二階系統的響應為
使用了標準的部份分式分解法，方程如下：
用s代替x之后，
在A(yíng)4中，分子中不含s或s2。而且，分母中也不含a。
所以方程A6可以改寫(xiě)為
因此
為保證方程A8兩邊的分母相同，可以將其改寫(xiě)為
為了驗證，可以將方程A9的右側與方程A8的右側進(jìn)行比較：
現在，我們可以使方程A9的分母相等，以求解A、B和C：
s2的系數相等：
0 = A + B
s1:的系數相等：
0 = A(2ζωn) + C
s0:的系數相等：
ωn 2 = Aωn 2
所以A = 1, B = –1, C = –2ζωn
因此，通過(guò)方程A8可以得出
（注意符號的變化，因為B和C都為負）
從時(shí)域（左邊）到拉普拉斯域（右邊）有三次變換：
通過(guò)完成平方計算，我們可以把方程A12寫(xiě)為
等于
我們現在需要讓分子等于 (s + 2ζωn) ，使其與分母中的第一項匹配，以便我們使用拉普拉斯定義：
因此，通過(guò)將ζωn分子項分解為分式，方程A15等于
（所以， a = –ζωn b = ωn√(1 – ζ2))
我們現在需要讓方程A17的第三個(gè)項等于ωn√(1 – ζ2) ，使其和分母匹配，以便我們使用拉普拉斯定義：
用方程A17的第三個(gè)項除以 ωn√(1 – ζ2)，然后將 ωn√(1 – ζ2)放在分子位置。
那么整個(gè)方程可以改寫(xiě)為
所以 a = –ζωn b = ωn√(1 – ζ2)
方程A19現在可以從拉普拉斯域中轉變?yōu)?/div>
第三項中取消了兩個(gè)wn。因為阻尼固有頻率ωd可以寫(xiě)為
方程A21可以簡(jiǎn)化為
許多課本中提到，方程A21的多項式也可以寫(xiě)為
所以我們的衰減指數由阻尼系數和無(wú)阻尼固有頻率決定，振蕩由阻尼固有頻率決定。
可以將方程A23輸入電子表格和表示輸出與階躍輸入之間關(guān)系的圖表中。
附錄B
顯示
單位階躍輸入的拉普拉斯變換為
RC電路的通用轉換函數為：
s為負值時(shí)，分母為零，所以這個(gè)電路的極點(diǎn)位于左半面上，因此系統是穩定的。如果電阻為負，那么極點(diǎn)位于右半面，系統會(huì )不穩定。
從方程B3可以看出，RC電路的轉換函數與階躍輸入之間的關(guān)系為
使用了標準的部份分式法，方程如下：
在本例中，a = 0
所以
分子中s1 的相等項為
0 = ACR + B
分子中 s0的相等項為
1 = A
所以 A = 1, B = –CR
因此
從時(shí)域（左邊）到拉普拉斯域（右邊）有兩次變換：
將方程B7轉化為采用時(shí)域意味著(zhù)RC按照預期
進(jìn)行響應。
附錄
下載與本文相關(guān)的 LTspice® files 文件。
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參考電路
Charles Phillips、Royce Harbor?！斗答伩刂葡到y》，第4版。Prentice Hall International，1988年。.
致謝
我們采用 LTspice進(jìn)行模擬。
非常感謝倫敦布魯內爾大學(xué)的Maysam Abbod為本文實(shí)施理論校正。
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