【導讀】在使用 COMSOL Multiphysics 中的 AC/DC 模塊對線(xiàn)圈進(jìn)行建模時(shí)，你是否需要考慮使用哪種類(lèi)型的邊界條件來(lái)截斷建模域。在這篇文章中，我們將介紹可以使用的不同邊界條件以及如何在它們之間進(jìn)行選擇。
在使用 COMSOL Multiphysics 中的 AC/DC 模塊對線(xiàn)圈進(jìn)行建模時(shí)，你是否需要考慮使用哪種類(lèi)型的邊界條件來(lái)截斷建模域。在這篇文章中，我們將介紹可以使用的不同邊界條件以及如何在它們之間進(jìn)行選擇。
概述：線(xiàn)圈建模的邊界條件
上一篇關(guān)于線(xiàn)圈建?；A知識的文章中，我們提到，無(wú)論什么時(shí)候對電磁線(xiàn)圈進(jìn)行建模，都需要從閉合電流環(huán)路的角度來(lái)考慮。電流環(huán)路可以完全在建模域內，也可以通過(guò)邊界條件閉合，如下圖所示。
連接到電壓源的線(xiàn)圈(左)和兩種不同的閉合電流環(huán)路的方法(右)。
就像我們之前所了解到的，如果線(xiàn)圈延伸到建模域的邊界，那么流過(guò)線(xiàn)圈的電流將沿著(zhù)建模域邊界返回。否則，為了使電流環(huán)路閉合，線(xiàn)圈就必須在建模域內形成環(huán)路。在這里，我們將重點(diǎn)討論兩個(gè)問(wèn)題。首先，我們應該使用哪些邊界條件？其次，這些邊界應該離線(xiàn)圈多遠？
我們先將線(xiàn)圈看作位于一個(gè)延伸到無(wú)窮大并且不包含其他任何東西的空間中。顯然，我們不可能建立一個(gè)無(wú)限大的域。我們必須將建模域截斷為某個(gè)有限大小，這樣就能在不增加過(guò)多計算量的基礎上獲得合理而準確的結果。首先，讓我們考慮在建模域內閉合的軸對稱(chēng)線(xiàn)圈的情況。這種情況可以通過(guò)二維軸對稱(chēng)模型進(jìn)行分析，如下圖所示。
可以通過(guò)二維軸對稱(chēng)模型分析球形域內的圓形線(xiàn)圈。對整個(gè)研究域的半徑根據線(xiàn)圈的半徑進(jìn)行歸一化處理。
我們將沿上圖所示的建模域的外半徑考慮兩種不同的邊界條件：磁絕緣（MI）邊界條件和完美磁導體（PMC）邊界條件。磁絕緣條件可以在物理上解釋為具有無(wú)限導電性的域邊界。也就是說(shuō)，磁絕緣條件意味著(zhù)線(xiàn)圈被封閉在一個(gè)導電率非常高的球殼中。電流可以在磁絕緣邊界上流動(dòng)和感應。從數學(xué)上講，磁絕緣條件將正在求解的場(chǎng)變量固定為邊界處為零。它是一個(gè)齊次狄利克雷邊界條件。
完美磁導體邊界條件可以被認為是與磁絕緣條件相反的邊界條件。在數學(xué)上，它強制執行齊次 Neumann 條件，這意味著(zhù)解場(chǎng)在垂直于邊界的方向上的導數為零。即在完美磁導體邊界上沒(méi)有電流可以流動(dòng)或者感應。
由于這兩個(gè)邊界條件可以被認為是相反的，我們來(lái)看看在求解時(shí)增大周?chē)諝馇虻陌霃綍?huì )使計算結果發(fā)生怎樣的變化，并跟蹤線(xiàn)圈的電感。我們可以對域半徑進(jìn)行參數化掃描，然后通過(guò)合并解來(lái)取兩個(gè)不同邊界條件的平均值。計算結果如下圖所示，我們可以觀(guān)察到電感的解隨著(zhù)域半徑的增加而收斂，還可以觀(guān)察到兩個(gè)解的平均值收斂得更快。
在不同邊界條件下，隨著(zhù)建模域半徑的增加的線(xiàn)圈歸一化電感。
從上面的圖中，我們可以得出結論，對于這個(gè)軸對稱(chēng)問(wèn)題，使用哪個(gè)邊界條件并不重要，只要研究域半徑增加的解就可以了。還可以得出，我們可以在相對較小的域半徑下運行模型，并同時(shí)使用磁絕緣和完美磁導體邊界條件獲得兩種情況下的平均值。即使對于小半徑，這個(gè)平均值也將很好地預測較大域半徑下的解。
用域條件替換邊界條件
實(shí)際上，我們可以通過(guò)使用稱(chēng)為無(wú)限元 域的域條件截斷建模域完全避免邊界條件的問(wèn)題。無(wú)限元域要求在建模域的外部周?chē)砑右粋€(gè)附加域作為層。然后，軟件在內部執行該域內的坐標拉伸，以使該域無(wú)限大，用于所有實(shí)際目的。因此，具有無(wú)限元域的模型的解將與域半徑增加時(shí)的解相同。
無(wú)限元域的優(yōu)點(diǎn)是它避免了在邊界條件之間進(jìn)行選擇的問(wèn)題以及域大小的問(wèn)題。無(wú)限元域可以放置在非?？拷€(xiàn)圈的地方，甚至可以與線(xiàn)圈接觸。無(wú)限元引入的唯一額外工作是模型和網(wǎng)格劃分設置。此外，較大的三維模型的求解時(shí)間和內存要求可能更大。然而，這些只是為增加便利性而付出的非常小的代價(jià)。
典型二維軸對稱(chēng)域和三維無(wú)限單元域的網(wǎng)格。
關(guān)于為線(xiàn)圈建模選擇邊界條件的結束語(yǔ)
在自由空間中對電磁線(xiàn)圈進(jìn)行建模時(shí)，我們研究了三種不同的截斷域的方法：磁絕緣邊界條件、完美磁導體邊界條件和無(wú)限元域。使用磁絕緣和完美磁導體邊界條件時(shí)，必須研究域半徑增加的模型收斂性，以及隨著(zhù)域半徑的增加，解將全部收斂到相同的值。取兩種情況的平均值可以預測在較大的域半徑下會(huì )發(fā)生什么。你也可以嘗試使用無(wú)限元域來(lái)得到相同的答案。
如果線(xiàn)圈延伸到建模域的邊界，就需要通過(guò)磁絕緣邊界條件提供電流返回路徑。如果存在表示金屬外殼的域邊界，并且是在頻域中建模，那么還要關(guān)注阻抗邊界條件，這對于模擬有損材料（如金屬）很有用。
如果你有一個(gè)對稱(chēng)性的模型，還可以使用磁絕緣和完美磁導體邊界條件來(lái)強制實(shí)施不同類(lèi)型的對稱(chēng)性， 具體可以查看利用對稱(chēng)性簡(jiǎn)化磁場(chǎng)建模這篇文章。
更多資源
如果你剛開(kāi)始學(xué)習使用 COMSOL Multiphysics 的 AC/DC 模塊進(jìn)行線(xiàn)圈建模，還可以在官網(wǎng)查看下方案例模型：
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（來(lái)源：COMSOL）
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