【導讀】在這里，作者將嘗試找出關(guān)于極點(diǎn)和零點(diǎn)的物理感覺(jué)，使用運算放大器來(lái)控制它們在復平面中的位置，并利用電路的自然響應來(lái)說(shuō)明極點(diǎn)/零點(diǎn)位置的影響。
單端口電路的自然響應
我們來(lái)看圖1中的無(wú)源線(xiàn)性單端口電路，它包括電阻、電容和電感。
圖1：（a）無(wú)源單端口電路 （b）自然（或無(wú)源）開(kāi)路響應vn(t)。
如果我們施加一個(gè)測試電流I(s)，單端口電路將產(chǎn)生電壓V(s)，使得V(s)=Z(s)/(s)，其中I(s)和V(s)是所施加電流和所產(chǎn)生電壓的拉普拉斯變換，s是以sec-1為單位的復數頻率。阻抗Z(s)是s的有理函數形式，即分子多項式N(s)與分母多項式D(s)的比值：
公式N(s)=0的根被稱(chēng)為Z(s)的零點(diǎn)，表示為z1，z2，……；而公式D(s)=0的根被稱(chēng)為Z(s)的極點(diǎn)，表示為p1、p2、……。極點(diǎn)和零點(diǎn)統稱(chēng)為根，也稱(chēng)為臨界頻率。例如，阻抗：
當s=0時(shí)，其值為零；當s=-3±j4時(shí)，它具有復共軛極點(diǎn)對?？梢杂酶鶃?lái)表達它，即：
如果我們繪制|Z(s)|相對于s的幅度曲線(xiàn)，則可以直觀(guān)理解零點(diǎn)和極點(diǎn)的含義。所得到的曲線(xiàn)就好像在s平面上豎起的帳篷，在零點(diǎn)處接觸s平面，而在極點(diǎn)處其高度變?yōu)闊o(wú)限。
圖2：Z(s)=(10Ω)s/(s2+6s+25)的幅度圖。（通過(guò)在虛軸上計算|Z|獲得的分布曲線(xiàn)圖顯示出單端口電路的交流響應。）
為了找到極點(diǎn)的物理感覺(jué)，我們在s接近極點(diǎn)pk時(shí)施加電流I(s)，就可以用相當小的I(s)獲得給定的電壓V(s)。s越接近極點(diǎn)pk，獲得給定電壓V(s)所需的電流I(s)越小。在s→pk的極限狀態(tài)下，即使電流為零，即開(kāi)路，單端口電路也會(huì )獲得一個(gè)非零的供電電壓（見(jiàn)圖1b）！這個(gè)電壓稱(chēng)為自然響應或無(wú)源響應，因為單端口電路可利用儲存在其電容和電感內部的能量來(lái)產(chǎn)生電壓。這些能量在電阻中消耗盡了，在無(wú)源單端口的情況下，它們將隨時(shí)間呈指數級衰減。實(shí)際上，系統理論預測到自然響應符合以下表達式：
其中a1，a2，......，是取決于存儲能量的合適系數（以V為單位），Z(s)的極點(diǎn)是指數中時(shí)間常數的倒數。
那么Z(s)的零點(diǎn)呢？我們來(lái)看圖3，它表示圖1的兩種情況?，F在施加的信號是電壓V(s)，而響應是電流I(s)=[1/Z(s)]V(s)，這表明Z(s)的零點(diǎn)現在成為1/Z(s)的極點(diǎn)。通過(guò)雙重推理，在s→zk的極限狀態(tài)下，即使施加零電壓（短路），單端口電路也將提供非零電流（參見(jiàn)圖3b）！該電流稱(chēng)為自然響應或無(wú)源響應，因為單端口電路利用儲存在其電容和電感內部的能量來(lái)產(chǎn)生電流。系統理論預測自然短路電流響應符合以下表達式：
其中b1，b2，......，是取決于存儲能量的合適系數（以安培為單位），Z(s)的零點(diǎn)是指數中時(shí)間常數的倒數。
圖3：（a）無(wú)源單端口電路（b）自然（或無(wú)源）短路響應in(t)。
總而言之，單端口電路的自然響應由其阻抗Z(s)的根控制：極點(diǎn)控制開(kāi)路電壓響應vn(t)，而零點(diǎn)控制短路電流響應in(t)。在某種程度上，根就像是單端口電路的DNA。例如，我們來(lái)看圖4的單端口電路。在t=0時(shí)，電容兩端的電壓為9V，頂部為正，t>0時(shí)它的自然響應是什么？可以看出單端口電路呈現的阻抗是：
顯然，z1=–1/(R1C)=-1/(10ms)，p1=-1/[(R1+R2)C]=-1/(30ms)。此外，a1=[20/(10+20)]9=6V且b1=9/10=0.9mA。所以：
圖4：找出（a）開(kāi)路和（b）短路的自然響應。
單極點(diǎn)控制
在圖5a的電路中，由vn表示的節點(diǎn)和地之間的阻抗為Z(s)=R||(1/sC)=R/(1+sRC)，因此在s=-1/(RC)=-1/(1ms)時(shí)電路具有一個(gè)極點(diǎn)。假設vn(0)=1V，我們可以得到：
圖5：（a）基本電路（b）相同的電路，但可以控制極點(diǎn)。
無(wú)論怎樣選擇R和C的值，該電路的極點(diǎn)將始終為負。我們希望找到控制它的方法，以便將其驅動(dòng)為零甚至使其成為正的。圖5b示出的電路可以完成這項工作。非反相放大器檢測vn并輸出電壓：
(1 + R2/R1)vn = (1 + k)vn
k = R2/R1
其中R2代表電位器在其左端和游標之間的部分。對于給定的元件值，從左端到右端改變游標將使k在0<k<2的范圍內變化?，F在，R3上的電壓為(1+k)vn–vn，即kvn，在右邊是正的，表明R3將為C提供電流kvn/R3。鑒于R從C中汲取電流vn/R，因此從C流出的凈電流為iC=vn[1/R+1/(-R3/k)]，表明C視R與一個(gè)負電阻–R3/k并聯(lián)，凈等效電阻Req=R||(–R3/k)]。擴展后可以得到：
對于給定的元件值，我們有Req=(10kΩ)/(1–k)，因此極點(diǎn)位置現在為s=-1/(ReqC)=-(1–k)/(1ms)，公式（4）變?yōu)椋?/div>
我們討論一下電路作為游標設置函數的工作原理，使用圖6中的PSpice電路來(lái)顯示隨后的自然響應類(lèi)型。
當游標一直向左（k=0）時(shí)，R3上的電壓降為零，因此R3帶有零電流，C通過(guò)R放電，時(shí)間常數為1ms，如公式（4）所示；
將游標向右移動(dòng)時(shí)，R3將電流提供給C，只要該電流小于R汲取的電流，C仍然會(huì )呈指數放電，但速度比k=0時(shí)要慢；
當游標處于中間（k=1）時(shí)，R3輸出的電流等于R汲取的電流，電容的凈電流為零，因此電容電壓保持恒定；
將游標進(jìn)一步向右移動(dòng)（k>1），使得源電流大于汲取電流，因此C呈指數充電，從而產(chǎn)生不同的響應，直到運放飽和。
圖6：PSpice電路顯示不同k值的自然響應，假設電容最初充電電壓為1V。
圖7描繪了隨k變化的極點(diǎn)位置。
圖7：極點(diǎn)軌跡是k的函數。
極點(diǎn)對控制
在圖8a的電路中，干擾產(chǎn)生自然響應vn(t)的阻抗是:
D(s)的階數表明我們現在有一個(gè)二階系統。對于這樣的系統，D(s)通常以更方便的形式表達:
其中ζ稱(chēng)為阻尼比，ω0稱(chēng)為無(wú)阻尼固有頻率。設D(s)=0，可以得到極點(diǎn)對：
比較公式（8）和（9），我們發(fā)現圖8a的電路具有：ζ=1.5和ω0=1/(RC)=1/(1ms)。代入公式（10）得到極點(diǎn)對p1=-1/(0.3818ms)，p2=-1/(2.618ms)，表示vn(t)由一對指數衰減組成，因為電阻消耗了存儲在電容中的電能。
為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設圖8a的RC對完全相同?？梢钥闯?，無(wú)論我們怎樣選擇元件值，該電路的極點(diǎn)將始終為負實(shí)數。
圖8：（a）基本電路（b）相同的電路，但可以控制極點(diǎn)。
我們希望可以找到方法來(lái)控制它們在復平面上的位置，以便將它們放置在虛軸上，甚至使它們溢出到復平面的右半部分。圖8b示出了可完成這項工作的電路。其中最左邊的電容被提升離地，由一個(gè)非反相放大器驅動(dòng)，該放大器檢測到vn并輸出電壓(1+R2/R1)vn=(1+k)vn，k如公式（5）所示。對于給定的元件值，從左端到右端改變游標將使k在0<k<3的范圍內變化。這樣做的目的是想通過(guò)改變k值，使運算放大器通過(guò)最左邊電容注入的能量改變甚至超過(guò)電阻消耗的電能。
使用熟悉的電路分析技巧，我們發(fā)現干擾產(chǎn)生自然響應vn(t)的阻抗為：
表明2-k=2ζ，或：
ω0=1/(RC)=1/(1ms)。我們來(lái)討論電路隨游標設置變化的工作原理，同樣，使用圖9a的PSpice電路來(lái)顯示隨后的自然響應類(lèi)型，如圖9b所示。
隨著(zhù)游標一直向左滑動(dòng)（k=0），可以得到ζ=1。公式（10）得到重合的極點(diǎn)對p1=p2=-1/(1ms)。在這種情況下，系統理論預測該類(lèi)型的自然響應為：
其中a和b是適合的系數，取決于t=0時(shí)存儲在電容中的能量。如圖9b所示，在初始浪涌之后，自然響應呈指數衰減至趨于零。
設k=2，得到ζ=0，所以公式（10）預測純虛極點(diǎn)對p1,2=±j103，其中j是虛數單位(j2=-1)。使用歐拉公式exp(jα)+exp(–jα)=2cosα，可以看出自然響應現在采用這種形式：
圖9：PSpice電路顯示對應于不同k值的自然響應，假設在t=0時(shí)，Ca充電到1V，Cb放電。
其中a和φ是適合的系數，取決于t=0時(shí)存儲在電容中的能量。其結果是持續振蕩，也稱(chēng)為無(wú)阻尼振蕩（因此稱(chēng)為ω0）。物理上，運算放大器注入單端口電路的能量等于端口電阻消耗的能量，這讓電容以某種乒乓方式交換能量。
● 對于0<k<2，有1>ζ>0，所以現在公式（10）可以預測一對復共軛極點(diǎn)。例如，當k=1.5時(shí)，由公式（12）得到ζ=0.25，因此由公式（10）得到：
代入公式（2），合并，并再次使用歐拉公式，將得到自然響應公式：
其中a和φ是適合的系數，取決于t=0時(shí)存儲在電容中的能量。
如圖9b所示，對于k=1.5，電容仍然以乒乓方式開(kāi)始交換能量，但是該能量逐漸被電阻消耗，從而產(chǎn)生阻尼振蕩。
● 將k提高到2以上，使運算放大器注入的能量超過(guò)端口電阻可以消耗的能量，引起發(fā)散振蕩，如圖9b中k=2.1所示。振蕩將持續增長(cháng)到運算放大器飽和為止。
圖10示出了隨k變化的根軌跡?？偠灾?，無(wú)源電路的極點(diǎn)位于復平面的左半部分。為了使它們溢出到右半平面，我們需要一個(gè)有源元件，例如示例中的運算放大器，從自己的電源端獲取能量并將其注入單端口電路。右半平面的極點(diǎn)導致發(fā)散的響應，最終使放大器飽和。
圖10：（a）作為k的函數的根軌跡（b）在阻尼響應狀態(tài)下的極點(diǎn)對。
一個(gè)流行應用
我們的電路控制極點(diǎn)對位置的能力可用于產(chǎn)生持續的正弦波。為此，它需要滿(mǎn)足兩個(gè)條件。
● 為了可以自己?jiǎn)?dòng)，電路的初始配置必須使其極點(diǎn)對位于復平面的右半部分（k>2.0）。
圖11：在虛軸上放置并保持一對極點(diǎn)，以產(chǎn)生正弦波。
即使兩個(gè)電容最初都放電，運算放大器的一點(diǎn)噪聲輸入就足以觸發(fā)不斷增長(cháng)的振蕩。
● 一旦振蕩達到所需幅度，就必須采取一些機制進(jìn)行干預，以防止其進(jìn)一步增長(cháng)，并將其保持在該幅度。這需要將極點(diǎn)對放置在虛軸（k=2.0）上，并自動(dòng)保持極點(diǎn)在其上，不管元件老化和漂移，或者任何其它干擾。
在圖11a中，電源接通時(shí)，兩個(gè)二極管仍然關(guān)閉，因此k=R2/R1=22/10=2.2，表明振蕩增加。隨著(zhù)振蕩的增加，二極管在交替的半周期內逐漸導通，所以k=[R2||(R3+rd)]/R1，其中rd是動(dòng)態(tài)二極管電阻（rd隨二極管電流而減?。?。在rd<<R3的極限情況下，我們將得到k=(22||100)/10=1.8，表示電路可在1.8<k<2.2的范圍內調整k的值，這包括k=2.0時(shí)持續振蕩達到所需幅度的情況。
假如由于某種原因實(shí)際幅度超過(guò)期望值，rd將減小并導致k降至2.0以下，從而抵消幅度上升。相反，如果幅度降至所需值以下，rd將增加并使k上升到2.0以上，從而抵消幅度下降?？傊?，只有k=2.0時(shí)電路才能找到它的“和平”狀態(tài)。“啊，這就是負反饋的魔力！”作者的一名學(xué)生這樣感慨，他畢業(yè)后去了盧卡斯電影公司工作。
